INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :
A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)
1. INTEGRAL TERTENTU
Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b
2. Sifat
b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a
b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b
a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a
b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a < c < b)
a b c
2. INTEGRAL TAK TENTU
FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1
FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c
sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika ò f(x) dx = F(x) + c
maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c
Perluasan :
ò (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR
a. SUBSTITUSI
I = ò f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)
b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
1. Bentuk Ö a2 - x2
misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
dx = a cos q dq
ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2 ò cos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c
= ½a2 ò [arc sin x + x Öa2 - x2 ] + c
a a a
ò Ö a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x Ö a2 - x2 + c
2. Bentuk ò Öa2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgq
dx = a/b sec2q dq
3. Bentuk ò Öb2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secq
dx = a/b tgq sec2q
c. PARSIAL
Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.
I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = ò g(x) dx = ..... maka :
ò u du = u v - ò v du
Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI
